在 多复数 动力系统中，Tetrabrot^[1] 是 Mandelbrot 集 的一种三维推广。该集合由 Dominic Rochon 于 2000 年发现，可以解释为三复数 Multibrot 集 ${\mathcal{M}}_3^2$ 的一个三维切片 ${\mathcal{T}}^2(1,{\mathbf{i}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{i}}_{\mathbf{2}})$。

发散层算法（Divergence-Layers Algorithm）

生成 Tetrabrot 图像的方法有多种。在 三复数空间 中，这些算法使用三复数函数 $f_c(\eta ):={\eta }^p+c$，其中 $\eta ,c\in \mathbb{TC}$，且 $p\ge 2$ 为整数。当且仅当对任意整数 $m\ge 1$，都有 $|f_c^m(0)|\le 2$ 时，参数 $c$ 属于 ${\mathcal{T}}^2(1,{\mathbf{i}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{i}}_{\mathbf{2}})$。这意味着迭代序列 $\{f_c^m(0)\}$ 在所有阶数下保持有界。

由于计算机无法进行无限次迭代，我们必须对该条件进行近似处理。因此，固定一个有限的迭代次数 $M$。若在所有 $m\in \{1,2,\dots ,M\}$ 下均有 $|f_c^m(0)|\le 2$，则认为参数 $c$ 属于 Tetrabrot。这种方法称为 发散层算法，并被用于在三维空间中绘制 Tetrabrot。

广义 Fatou–Julia 定理

当 $p=2$ 且 $c\in \mathbb{TC}$ 时，三复数填充 Julia 集 定义为 $${\mathcal{K}}_{3,c}^2:=\{\eta \in \mathbb{TC}:\{f_c^m(\eta ){\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}\text{ 有界}\}。$$ 函数 $f_c(\eta )={\eta }^2+c$ 在无穷远处的 吸引域 定义为 $A_{3,c}(\mathrm{\infty }):=\mathbb{TC}\setminus {\mathcal{K}}_{3,c}^2$，即 $$A_{3,c}(\mathrm{\infty })=\{\eta \in \mathbb{TC}:f_c^m(\eta )\to \mathrm{\infty }\text{ 当 }m\to \mathrm{\infty }\}。$$ 进一步定义强吸引域为 $$S{A}_{3,c}(\mathrm{\infty }):=(A_{c_{{\gamma }_1{\gamma }_3}}(\mathrm{\infty }){\times }_{{\gamma }_1}{A}_{c_{{\bar{\gamma }}_1{\gamma }_3}}(\mathrm{\infty })){\times }_{{\gamma }_3}(A_{c_{{\gamma }_1{\bar{\gamma }}_3}}(\mathrm{\infty }){\times }_{{\gamma }_1}{A}_{c_{{\bar{\gamma }}_1{\bar{\gamma }}_3}}(\mathrm{\infty }))。$$

在上述记号下，${\mathcal{M}}_3^2$ 的 广义 Fatou–Julia 定理^[2] 表述如下：

• $0\in {\mathcal{K}}_{3,c}^2$ 当且仅当 ${\mathcal{K}}_{3,c}^2$ 是连通的；
• $0\in S{A}_{3,c}(\mathrm{\infty })$ 当且仅当 ${\mathcal{K}}_{3,c}^2$ 是 Cantor 集；
• $0\in A_{3,c}(\mathrm{\infty })\setminus S{A}_{3,c}(\mathrm{\infty })$ 当且仅当 ${\mathcal{K}}_{3,c}^2$ 非完全不连通。

光线追踪（Ray-Tracing）

1982 年，A. Norton^[3] 提出了用于生成和显示三维分形的算法，并首次在迭代过程中引入了 四元数^[4]。随后，对 四元数 Mandelbrot 集^[5][6] 的理论性质进行了研究，其定义基于二次多项式 $q^2+c$。

2005 年，É. Martineau 与 D. Rochon^[7] 在 双复数 的框架下，给出了点 $c$ 到双复数 Mandelbrot 集 ${\mathcal{M}}_2^2$ 的距离上下界估计。

利用 Green 函数可以得到距离的近似下界^[8]，并可用于对 Tetrabrot 进行 光线追踪 渲染。

参考文献

1. ^D. Rochon, A Generalized Mandelbrot Set for Bicomplex Numbers, Fractals, 8(4):355–368, 2000.
2. ^V. Garant-Pelletier & D. Rochon, On a Generalized Fatou-Julia Theorem in Multicomplex Space, Fractals, 17(3):241–255, 2008.
3. ^A. Norton, Generation and Display of Geometric Fractals in 3-D, Computer Graphics, 16:61–67, 1982.
4. ^I. L. Kantor, Hypercomplex Numbers, Springer-Verlag, New York, 1982.
5. ^S. Bedding & K. Briggs, Iteration of Quaternion Maps, Int. J. Bifur. Chaos, 5:877–881, 1995.
6. ^J. Gomatam et al., Generalization of the Mandelbrot Set: Quaternionic Quadratic Maps, Chaos, Solitons & Fractals, 5:971–985, 1995.
7. ^É. Martineau & D. Rochon, On a Bicomplex Distance Estimation for the Tetrabrot, Int. J. Bifurcation and Chaos, 15(6):501–521, 2005.
8. ^J. C. Hart et al., Ray Tracing Deterministic 3-D Fractals, Computer Graphics, 23:289–296, 1989.
9. ^G. Brouillette, P.-O. Parisé & D. Rochon, Tricomplex Distance Estimation for Filled-in Julia Sets and Multibrot Sets, Int. J. Bifurcation and Chaos, 29(6), 2019.