Mathopo-Tetrabrot

在多复数动力系统中，Tetrabrot^[1] 是 Mandelbrot 集的一种三维推广。该集合由 Dominic Rochon 于 2000 年发现，可以解释为三复数 Multibrot 集 $\mathcal{M}_3^2$ 的一个三维切片 $\mathcal{T}^2(1, \mathbf{i_1}, \mathbf{i_2})$。

Tetrabrot with Julia sets — 与 Tetrabrot 相关的填充 Julia 集示意图

发散层算法（Divergence-Layers Algorithm）

生成 Tetrabrot 图像的方法有多种。在 三复数空间 中，这些算法使用三复数函数 $ f_c(\eta) := \eta^p + c $，其中 $\eta, c \in \mathbb{TC}$，且 $p \ge 2$ 为整数。当且仅当对任意整数 $m \ge 1$，都有 $|f_c^m(0)| \le 2$ 时，参数 $c$ 属于 $\mathcal{T}^2(1, \mathbf{i_1}, \mathbf{i_2})$。这意味着迭代序列 $\{f_c^m(0)\}$ 在所有阶数下保持有界。

由于计算机无法进行无限次迭代，我们必须对该条件进行近似处理。因此，固定一个有限的迭代次数 $M$。若在所有 $m \in \{1,2,\ldots,M\}$ 下均有 $|f_c^m(0)| \le 2$，则认为参数 $c$ 属于 Tetrabrot。这种方法称为 发散层算法，并被用于在三维空间中绘制 Tetrabrot。

Tetrabrot layered — 使用发散层算法绘制的 Tetrabrot 示例

广义 Fatou–Julia 定理

当 $p=2$ 且 $c \in \mathbb{TC}$ 时，三复数填充 Julia 集定义为 $$ \mathcal{K}_{3,c}^2 := \{ \eta \in \mathbb{TC} : \{ f_c^m(\eta) \}_{m=1}^{\infty} \text{ 有界} \}。 $$ 函数 $f_c(\eta)=\eta^2+c$ 在无穷远处的吸引域定义为 $A_{3,c}(\infty):=\mathbb{TC}\setminus\mathcal{K}_{3,c}^2$，即 $$ A_{3,c}(\infty)=\{ \eta \in \mathbb{TC} : f_c^m(\eta) \to \infty \text{ 当 } m \to \infty \}。 $$ 进一步定义强吸引域为 $$ SA_{3,c}(\infty) := \big( A_{c_{\gamma_1\gamma_3}}(\infty) \times_{\gamma_1} A_{c_{\overline{\gamma}_1\gamma_3}}(\infty) \big) \times_{\gamma_3} \big( A_{c_{\gamma_1\overline{\gamma}_3}}(\infty) \times_{\gamma_1} A_{c_{\overline{\gamma}_1\overline{\gamma}_3}}(\infty) \big)。 $$

在上述记号下，$\mathcal{M}_3^2$ 的 广义 Fatou–Julia 定理^[2] 表述如下：

$0 \in \mathcal{K}_{3,c}^2$ 当且仅当 $\mathcal{K}_{3,c}^2$ 是连通的；
$0 \in SA_{3,c}(\infty)$ 当且仅当 $\mathcal{K}_{3,c}^2$ 是 Cantor 集；
$0 \in A_{3,c}(\infty) \setminus SA_{3,c}(\infty)$ 当且仅当 $\mathcal{K}_{3,c}^2$ 非完全不连通。

Fatou-Julia Tetrabrot — Tetrabrot 的 Fatou–Julia 定理示意图

光线追踪（Ray-Tracing）

1982 年，A. Norton^[3] 提出了用于生成和显示三维分形的算法，并首次在迭代过程中引入了四元数^[4]。随后，对 四元数 Mandelbrot 集^[5]^[6] 的理论性质进行了研究，其定义基于二次多项式 $q^2+c$。

Quaternion Julia Douady rabbit — 四元数 Julia 集示例，在 XY 平面上的截面呈现出著名的“Douady 兔子”结构

2005 年，É. Martineau 与 D. Rochon^[7] 在双复数的框架下，给出了点 $c$ 到双复数 Mandelbrot 集 $\mathcal{M}_2^2$ 的距离上下界估计。

利用 Green 函数可以得到距离的近似下界^[8]，并可用于对 Tetrabrot 进行光线追踪渲染。

Tetrabrot ray-traced — 通过光线追踪生成的 Tetrabrot 图像

参考文献

^D. Rochon, A Generalized Mandelbrot Set for Bicomplex Numbers, Fractals, 8(4):355–368, 2000.
^V. Garant-Pelletier & D. Rochon, On a Generalized Fatou-Julia Theorem in Multicomplex Space, Fractals, 17(3):241–255, 2008.
^A. Norton, Generation and Display of Geometric Fractals in 3-D, Computer Graphics, 16:61–67, 1982.
^I. L. Kantor, Hypercomplex Numbers, Springer-Verlag, New York, 1982.
^S. Bedding & K. Briggs, Iteration of Quaternion Maps, Int. J. Bifur. Chaos, 5:877–881, 1995.
^J. Gomatam et al., Generalization of the Mandelbrot Set: Quaternionic Quadratic Maps, Chaos, Solitons & Fractals, 5:971–985, 1995.
^É. Martineau & D. Rochon, On a Bicomplex Distance Estimation for the Tetrabrot, Int. J. Bifurcation and Chaos, 15(6):501–521, 2005.
^J. C. Hart et al., Ray Tracing Deterministic 3-D Fractals, Computer Graphics, 23:289–296, 1989.
^G. Brouillette, P.-O. Parisé & D. Rochon, Tricomplex Distance Estimation for Filled-in Julia Sets and Multibrot Sets, Int. J. Bifurcation and Chaos, 29(6), 2019.