En dynamique multicomplexe, le Tétrabrot[1] est une généralisation tridimensionnelle de l’ensemble de Mandelbrot. Découvert par Dominic Rochon en 2000, il peut être interprété comme une tranche tridimensionnelle \(\mathcal{T}^2(1, \mathbf{i_1}, \mathbf{i_2})\) de l’ensemble Multibrot tricomplexe \(\mathcal{M}_3^2\).
Il existe différents algorithmes permettant de générer des images du Tétrabrot. Dans l’espace tricomplexe, ces algorithmes utilisent la fonction tricomplexe \(f_c (\eta) := \eta^p + c \), où \(\eta , c \in \mathbb{TC}\) et où \(p \geq 2\) est un entier. Le nombre \(c\) appartient à \(\mathcal{T}^2 (1, \mathbf{i_1}, \mathbf{i_2})\) si et seulement si \(|f_c^m(0)| \leq 2\), pour tout entier \(m \geq 1\). Cette condition signifie que l’ensemble des nombres \( f_c^m (0) \) doit être borné pour tout entier \(m \geq 1 \).
Puisqu’il est impossible de calculer un nombre infini d’itérations sur un ordinateur, il est nécessaire de considérer une approximation de cette condition. On fixe donc un nombre fini d’itérations à tester, disons \(M\). Le nombre \(c\) appartient au Tétrabrot si les nombres \(f_c^m(0)\), pour \(m \in \{1, 2, \ldots , M\}\), demeurent bornés par \(2\). Cette méthode est appelée algorithme par couches de divergence (*Divergence-Layer Algorithm*). Elle est utilisée pour tracer le Tétrabrot dans l’espace tridimensionnel.
L’ensemble de Julia rempli tricomplexe d’ordre \(p = 2\), pour \(c \in \mathbb{TC}\), est défini par $$ \mathcal{K}_{3, c}^2 := \{ \eta \in \mathbb{TC} \, : \, \{ f_c^m (\eta)\}_{m = 1}^\infty \text{ est bornée.} \} $$ Le bassin d’attraction en \(\infty\) de \(f_c(\eta) = \eta^2 + c\) est défini par \(A_{3, c} (\infty) := \mathbb{TC} \backslash \mathcal{K}_{3, c}^2\), c’est-à-dire $$ A_{3, c} (\infty) = \{ \eta \in \mathbb{TC} \, : \, f_c^m (\eta ) \rightarrow \infty \text{ lorsque } m \rightarrow \infty \} $$ et le bassin d’attraction fort en \(\infty\) de \(f_c\) est défini par $$ SA_{3, c} (\infty ) := \Big( A_{c_{\gamma{1} \gamma_3}} (\infty) \times_{\gamma_1} A_{c_{\overline{\gamma}_1 \gamma_3}} (\infty ) \Big) \times_{\gamma_3} \Big( A_{c_{\gamma_1 \overline{\gamma}_3}} (\infty) \times_{\gamma_1} A_{c_{\overline{\gamma}_1 \overline{\gamma}_3}} (\infty) \Big) , $$ où \(A_c (\infty)\) désigne le bassin d’attraction de \(f_c\) en \(\infty\) pour \(c \in \mathbb{C}(\mathbf{i_1})\).
Avec ces notations, le théorème de Fatou-Julia généralisé pour \(\mathcal{M}_3^2\) s’énonce de la manière suivante[2] :
En 1982, A. Norton[3] a proposé plusieurs algorithmes pour la génération et l’affichage de formes fractales en trois dimensions. Pour la première fois, l’itération utilisant des quaternions[4] est apparue. Des résultats théoriques ont été obtenus pour l’ensemble de Mandelbrot quaternionique[5][6] (voir la vidéo), défini à l’aide du polynôme quadratique quaternionique \(q^2 + c\).
En 2005, en utilisant les nombres bicomplexes, É. Martineau et D. Rochon[7] ont obtenu des estimations des bornes inférieure et supérieure de la distance entre un point \(c\) situé à l’extérieur de l’ensemble de Mandelbrot bicomplexe \(\mathcal{M}_2^2\) et \(\mathcal{M}_2^2\) lui-même. Soit \(c \not\in \mathcal{M}_2^2\), et définissons $$ d(c, \mathcal{M}_2^2) := \inf \{ |w - c| \, : \, w \in \mathcal{M}_2^2 .\} $$ Alors, $$ d(c, \mathcal{M}_2^2) = \sqrt{\frac{d(c_{\gamma_1}, \mathcal{M}^2) + d(c_{\overline{\gamma}_1}, \mathcal{M}^2)}{2}}, $$ où \(\mathcal{M}^2\) désigne l’ensemble de Mandelbrot classique.
En utilisant la fonction de Green \(G : \mathbb{C}(\mathbf{i_1}) \backslash \mathcal{M}^2 \rightarrow \mathbb{C}(\mathbf{i_1}) \backslash \overline{B}_1 (0, 1)\) dans le plan complexe, où \(\overline{B}_1 (0, 1)\) est la boule unité fermée de \(\mathbb{C}(\mathbf{i_1}) \simeq \mathbb{C}\), la distance est approximée de la manière suivante[8] : $$ \frac{|z_m| \ln |z_m|}{2|z_m|^{1/2^m} |z_m'|} \approx \frac{\sinh G(c_\gamma)}{2^{G(c_\gamma)}|G'(c_\gamma)|} < d(c_\gamma, \mathcal{M}^2) , $$ pour tout \(c_\gamma \in \mathbb{C}(\mathbf{i_1}) \backslash \mathcal{M}^2\) et pour \(m\) suffisamment grand, où \(z_m := f_{c_\gamma}^m (0)\) et \(z_m' := \frac{d}{dc} f_c (0) |_{c = c_\gamma}\). Cette approximation fournit une borne inférieure pouvant être utilisée pour le lancer de rayons du Tétrabrot.
Il existe également une généralisation de la borne inférieure pour \(d (c, \mathcal{M}_2^2)\) à l’ensemble Multibrot tricomplexe d’ordre \(p\)[9]. Certaines ressources et images sont disponibles sur la page personnelle de Aleph One. Une vidéo est également disponible sur YouTube, où des régions spécifiques du Tétrabrot de Rochon sont explorées.