Sommes de Riemann et de Darboux

Application interactive pour le cours MPU1054 – Analyse à une variable réelle II (chapitre 1 : l’intégrale de Riemann).

Cette application illustre la construction de l’intégrale de Riemann d’une fonction \( f \) sur un intervalle \( [a, b] \) :

• la partition \( \mathcal{P} = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\} \) de \( [a, b] \) – uniforme, quadratique, aléatoire ou libre – dont on déplace les points \( x_k \) à la souris et que l’on raffine avec la molette ;
• les marques \( t_k \in [x_{k-1}, x_k] \) (extrémités gauches, extrémités droites, milieux, aléatoires ou libres) et la somme de Riemann \( S(f;\dot{\mathcal{P}}) = \sum_{k=1}^{n} f(t_k)\,(x_k - x_{k-1}) \) ;
• les sommes de Darboux inférieure \( L(f;\mathcal{P}) = \sum_{k=1}^{n} m_k\,(x_k - x_{k-1}) \) et supérieure \( U(f;\mathcal{P}) = \sum_{k=1}^{n} M_k\,(x_k - x_{k-1}) \), où \( m_k \) et \( M_k \) désignent l’infimum et le supremum de \( f \) sur \( [x_{k-1}, x_k] \), ainsi que l’encadrement \( L(f;\mathcal{P}) \le S(f;\dot{\mathcal{P}}) \le U(f;\mathcal{P}) \) ;
• le passage à la limite : en raffinant la partition, la différence \( U(f;\mathcal{P}) - L(f;\mathcal{P}) \) tend vers \( 0 \) et toutes les sommes convergent vers \( \int_a^b f(x)\,dx \).

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Fonctions disponibles : une fonction « générique » non monotone, \( x \), \( x^2 \), \( x^3 \), \( x^3 - x \), ou toute expression saisie au clavier (par exemple sqrt(x) ou sin(x) + x/2). Les nombres \( a \) et \( b \) ainsi que les points \( x_k \) se déplacent à la souris, la molette change le nombre de sous-intervalles, un double-clic ajoute un point à la partition et le bouton « Animer » raffine automatiquement la partition. La touche ? affiche l’aide complète dans l’application.

Application autonome en HTML, CSS et JavaScript, aux couleurs de l’UQTR, créée avec l’aide de Claude Code (Anthropic) à partir des notes du cours.